摘要：本文对正整数平方和公式与立方和公式进行了证明与推导，以期让学生更好地理解领会公式、掌握灵活应用公式解决数学问题的方法。
关键词：正整数 平方和公式 立方和公式 证明
研究性学习是当前数学教育中一个十分热门的话题， 但在正常的教学过程中，教师们往往会觉得缺乏合适的研究性学习的素材。很多新颖而富有时代特征的素材应该作为研究性学习的材料， 但这样的素材比较缺乏。其实，我们的数学学习材料当中一些传统的数学问题经适当的组织后同样可以成为研究性学习的不错素材， 正如本文所述的两个“重要公式”的证明一样。
正整数平方和公式与立方和公式是解决数学问题时常用到的两个公式，对于这两个公式的证明，学生们感到很困惑，对此，笔者进行了一些探索，总结出来，以备参考。
一、正整数的平方和公式
正整数的平方和公式的证明有以下两种比较简单的方法。
方法一（组合数公式法）：学习了排列与组合的有关知识，我们知道，从而可得：n2=2cn2 + n
所以：12+22+……n2=2（C22+C23+……Cn2）+2+3+……+n
这样就有结论：
C22+C23+……Cn2=C33+C32+……+Cn2=Cn3+1
因此：
12+22+……+n2
=1+2Cn+13+2+3+……+n
=
方法二（构造法）：我们求数列{n2}的前n项和为Sn，则Sn=12+22+32+…+n2，由于
（n+1）3-n3=〔（n+1）-n〕〔（n+1）2+（n+1）n+n2〕
=n2+2n+1+n2+n+n2
=3n2+3n+1，，
所以 23-13=3×12+3×1+1
33-23=3×22+3×2+1
43-33=3×32+3×3+1
（n+1）3-n3=3n2+3n+1
……
（n+1）3-n3=3n2+3n+1
以上n个式子累加得：
（n+1）3-1=3（12+22+32+…+n2）+3（1+2+3+…+n）+n
=3（12+22+32+…+n2）++n.
因此 =
二、正整数立方和公式的证明-猜想证明法
分析：正整数立方和可看作求数列{n3}的前项和。对于这个数列，既不是等差数列，又不是等比数列，常用的几种方法都没办法解决。怎么办呢？我们先求前1项的和，前2项的和，前3项的和，……，猜想出前n项的和，再去用数学归纳法证明正确性。
解：S1=13=1=12
S2=13+23=9=32
S3=13+23+33=36=62=（1+2+3）2
S4=13+23+33+43=100=102=（1+2+3+4）2
S5=13+23+33+43+53=225=152=（1+2+3+4+5）2
S6=13+23+33+43+53+63 =441=212=（1+2+3+4+5+6）2
可猜想
Sn=l3+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2=2
=
再用数学归纳法证明以上等式成立。
①当n=1时，S1=1，，等式成立。
②假设当n=k时，等式也成立.
即Sk=，
那么Sk+1=Sk+（k+1）3
=（k+1）2+（k+1）3
这就是说当n=k+1时等式也成立。
综上①②可得，等式对任意的n∈N*都成立.
以上数学知识的推导方法，虽然早已存在，但对每一批新学生来说仍是一种创新。为解决问题提供便利，数学问题的模型必须是多样性的。对不同方法的探讨将有助于我们开阔视野，有助于我们提高分析问题和解决问题的能力。教育学科认为，创新性学习是指在旧知识的学习中获得新知识、在原有方法的学习中发现新方法（对学习者而言）的一种学习形式。在这一过程中，学生会经历归纳、猜想、验证、探索、证明的过程，并获得失败或成功的体验，这正是新课程所倡导的学习方式的一种表现形式。在探索中， 教师的引导作用十分关键， 将有助于学生形成系统的解题思路，建立完善的解题知识网络。
弗赖登塔尔曾提出：“力求用发生的方法来教学，并不意味着必须完全按照知识的发展顺序，甚至连走过的弯路与死胡同都不加删除地教。”在教学过程中， 教师的主导作用应该发挥到何种程度是与学习材料的难程度及学生的认知能力密切相关的。教师提出的问题应处于学生的“最近发展区”内，既要有一定的深度又要符合学生的实际水平。
参考文献：
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[2]林东生.武红星.正整数立方和公式的多种裂项构造证法[J].福建中学数学，2009（6）.
[3]杨庆生，高耀华.自然数平方和公式的论证方法集锦[J].乌鲁木齐成人教育学院学报，1997（1）.
[4]李长江.多视角下自然数平方和公式的推导[J].中学数学研究，2015（4）.
