作者：陈绍纲，于水英
[摘 要] 通过对求导公式形式不变性的提出，给出了一阶求导公式的一般形式，引申出复合函数、隐函数的求导公式一般形式，沟通与微分形式不变性之间的联系和一致性，降低学生学习难度，提高其学习兴趣。
[关 键 词] 公式形式不变性；求导公式一般形式；高职高数教学
[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2017）24-0042-02
在职业院校中，由于学生自身的学习能力相对较弱、数学基础参差不齐，势必给高职高数教学带来极大的难度。但如果过度降低教学的难度，又不利于学生基础素质的提高，也不利于学生将来进一步发展深造。本文通过总结调查问卷及学生数学素质的实际，结合高职高数教学中对高数一元函数微积分的教材教学处理对高职院校高等数学教学进行探讨。
一、学生高数学习调查问卷汇总
本次调查问卷主要以2016级在校学生为主，2015级学生为辅。本次调研问卷共在校内发放1750份，回收有效问卷1421份，无效问卷329份。
二、高职学生高数学习现状况
从学生入学方式看，高职学生主要是高中或中专类的毕业生，学生综合素质较高并有一定的专业知识；而五年制及单独招生学生整体素质较差，基础参差不齐。并且中等职业教育课程及知识体系与高职教育的课程知识体系也缺乏配合、交流和衔接。因为文化基础知识体系相对不完整，基本素质、理解能力和逻辑推理、归纳演绎能力都较差，导致高数教学效果每况愈下，不及格率也居高不下。由调查问卷情况看，高职学生中普遍存在的不知道怎样学习高数？应学习什么？同时，由于学生的学习习惯，忽视了高数教育的文化素质性，使数学学习变得单调、枯燥，因而造成学生学习高数的畏难情绪，甚至部分学生完全放弃，失去了学习高数的自信心。
教学是“教”与“学”的统一体，是并举并重的。针对目前高职学生的学习现状，在教学中怎样去做？高职高数教学中怎样做才能适应高职学生的情况，才能提高教学质量并顺利达到教学目的和提高学生学习高数的兴趣呢？
三、一元函数的导数公式形式不变性
导数基本公式是微积分学中重要的基础，科学理解基本公式形式及其与复合函数求导法则的逻辑关系对后继内容学习具有举足轻重的作用，尤其对于隐函数。而目前的教材中，由导数基本公式到复合函数求导法则过渡的表现形式不一致，从而导致学生理解公式法则困惑、逻辑思维不严谨，导致运用混乱，并造成学生对微分理解的困难。为此，笔者给出一阶导数公式形式不变性概念及导数基本公式的一般形式。从而为理解掌握微分奠定基础。
在高校的数学分析、高等数学相关教材的编写和修订过程中，导数基本公式形式一直没有变化。如導数基本公式为：
（xμ）′=μxμ-1，（ex）′=ex，（lnx）′=■，（sinx）′=cosx （1）
复合函数求导法则为：
定理1 设函数y=f（u）在u点可导，函数u=g（x）在点x可导，则复合函数y=f（g（x））在点x可导且有■=■■，■=f ′（u）·g ′（x），或■=■·■. （2）
教材中对基本公式和法则有详略得当的描述，但公式与法则之间缺乏形式上的联系，引起学生理解上的困惑，甚至不理解，进而导致学习隐函数导数和微分的困难，同时导致学生出现解题格式错误或步骤不完整及解题错误等现象。
例1：求y=lnsin（1-x）的导数
解：y=■·[sin（1-x）]′ （3）
=■·cos（1-x）·（1-x）′ （4）
=-■ （5）
=-tan（1-x）
在解题过程中经常写错或丢掉中间变量的导数，如（3）写成
y′=■·[sin（1-x）]′·（1-x）′或（4）写成y′=■·（1-x）′
例2：求由方程y2=1-xey确定的函数的导数y′.
解：对方程两边同时求关于x导数
（y2）′=（1-xey）′， （y2）′=1′-（x）′ey-x（ey）′，（6）
2yy′=-ey-xey·y′，（7） （2y+xey）·y′=-ey
解得 y′=■
在解题过程中经常存在丢掉y′的现象，如常错误地把（7）写成2y=-ey-xey·y′或2y·y′=-ey-xey
此现象对于学习高等数学的高职院校学生来说更是普遍。从（3）到（4）易出错及（6）到（7）学生不知所以然，其主观原因在于学生不能把导数基本公式与复合函数求导法则联系起来使用；客观原因是教材中缺乏基本公式（1）与复合函数求导法则（2）的联系及形式不一致。如基本公式（1）中没有出现x′，以至于部分学生能综合使用基本公式但不能准确熟练运用复合求导法则，从而出现如上错误。从学生角度讲，这种现象会强化数学内容的抽象性，影响或降低学生学习数学的积极性和兴趣；从能力培养角度看，过渡形式不一致使学生逻辑思维能力培养速度得不到有效提高。而教材作为重要学习材料，，对学生学习影响力不可忽视，因此修订或补充说明导数基本公式形式具有重要作用。
（一）一元函数导数公式形式不变性
为了学生易于理解和掌握求导法则，先将公式变形为：
（xμ）′=μxμ-1·x′ （ex）′=ex·x′ （lnx）′=■·x′
（sinx）′=cosx·x′ （tanx）′=sec2x·x′ （secx）′=secxtanx·x′
（arcsinx）′=■·x′ （arctanx）′=■·x′
上列诸式总称为（8）式。将公式中的变量x用变量u替换有：
（uμ）′=μuμ-1·u′ （eu）′=eu·u′ （lnu）′=■·u′
