一种多目标决策问题的模糊解法
摘要:针对定性多目标决策问题,提出了一种利用模糊集理论来求解的方法。它先对目标及权重进行模糊化,然后通过模糊运算及反模糊化的过程得到各方案的评价值,进而进行多目标决策。文章最后通过对丰满水库实际洪水调度方案的多目标决策,表明了该方法的可行性和有效性,同时还具有简单、实用、直观的优点。
关键词:多目标决策 模糊逻辑 权重
多准则决策(包括多目标决策和多属性决策)是目前决策科学、系统工程、管理科学和运筹学等学科研究中十分重要、非常活跃的领域。它是从有限个待优选方案集{A1, A2,, An}中经过综合权衡各个目标(或属性)Oi∈O={O1,O2,…, Om}(i=1,2,…m)后,对方案集排序并选出最满意方案。由于各个目标间的不可公度性与冲突性,一般要把各目标特征量转化为相对隶属度(或效用函数),然后赋予各个目标相应权重,再作综合评价,从而确定最满意方案。其中一个突出而又艰难的问题就是权重的确定。权重一般是由决策者给出,但是,决策者往往很难或者根本无法确定各个目标权重的准确值;另一方面,决策者虽不能给出一个确定的权重,却能给出一个大致的范围,如“很重要”、“重要”、“不太重要”等;同时在目标变量中也存在一些定性目标,如“很差”、“较差”、“很好”等,对这些含有语言变量的多目标决策问题,本文给出了一个简单而有效的模糊求解方法。
1 多目标决策的模糊优选理论模型简介
首先简单介绍一下陈守煜提出的多目标决策模糊优选模型[1]
设考虑的目标数为m,拟定的可行方案数为n,由n个决策方案组成的方案集A={A1,A2,… An},其决策矩阵可表示为X=(Xij)m×n,其中Xij是方案j(j=1,2,…,n)的第i(i=1,2,…,m)个定量目标值。为了增加目标可比性,需要对目标作归一化,对效益型(即目标值越大越好)和成本型(即目标值越小越好)目标,分别用公式(1)和式(2)转化成相对隶属度矩阵R=(rij)m×n。
rij=(xij-ximin)/(ximax-ximin)
(1)
rij=(ximax-xij)/(ximax-ximin)
(2)
在式(1)和式(2)中,(符号∨和∧分别表示取大、取小运算)。
对方案的多目标决策问题,方案优选是一相对概念,据此可定义理想优方案G和理论劣方案B
G=(g1,g2,…,gm)
(3)
B=(b1,b2…,bm)
式中,
显然,这里G=(1,1,…,1)1×m,B=(0,0,…, 0)1×m
由于目标冲突性,方案G和B一般是不存在的,为此方案的优选是选择一个最满意的方案Aj使之尽可能接近G而远离B。若设方案Aj隶属于G的相对隶属度为uj则隶属于B的相对录属度为1-uj,按模糊优选理论模型,可得方案Aj的相对优属度为
(4)
式中,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n。
若权值已知,通过上式即可求解uj。
2 定性变量的描述及评价
我们看到对于定量的多目标决策问题(即目标和权重均为定量值),上述模型可以很好地解决,但若含有定性目标,且权重不能确定时又怎么办呢?文献[2]是通过构建相及矩阵来计算定性目标的相对隶属度和权重的大小的;本文则利用模糊逻辑推理来进行求解。
一般,对于定性变量,我们可以通过一些语言变量进行描述,如“很差”、“差”、“较差”、“中”、“较好”、“好”、“很好”等(对于权重则称为“很不重要”、“不重要”、“不太重要”、“一般”、“比较重要”、“重要”、“很重要”等,分别用NB、NM、NS、ZE、PS、PM、PB代替),这些语言变量又都可以用不同的模糊集来表示。这里用三角形隶属函数来表示一个模糊集:若以3个顶点在横轴上的坐标(A,B、C)表示一个三角形,其中B是相对隶属度最大的点(如图1所示),则以上7个模糊集分别为(0,0,0.25),(0,0.25,0.35),(0.25,0.35,0.5),(0.35,0.5,0.75),(0.5,0.75,0.85),(0.75,0.85,1.0),(0.85,1.0,1.0),其隶属函数如图2所示。于是各定性变量可记为(r1ij,r2ij,r3ij)和(w1i,w2i,w3i)(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n),其中,代表第j个方案中第i个定性目标的模糊数,指第i个目标权重的模糊数。
显然模糊评价的结果也是个模糊数,设为(f1ij,f2ij,f3ij),则
(5)
图1 模糊数表示示意
图2 各隶属函数
其中,表示模糊数的乘,由下式定义
f1ij=w1i·r1ij,
f2ij=w2i·r2ij,
f3ij=w3i·r3ij
(6)
其精确化输出uij可以是具有最大相对隶属度的点,即
uij=f2ij
(7)
于是某方案j的综合评价值为
(8)
3 定量变量的描述及评价
为了与定性变量协同计算,我们对定量值按以下步骤进行处理:
(1) 首先,按式(1)或(2)将各定量值转换成相对隶属度值Rij
(2) 然后,利用各语言变量的隶属函数,求出Rij对于某语言变量k的相对隶属度(Rij),其中为语言变量k的模糊集k∈{NB、NM、NS、ZE、PS、PM、PB},写成三角形分量式是(a1kij,a2kij,a3kij),其隶属函数亦如图2所示。若设对于Rij,隶属度不为零的模糊集个数为l,此时,Rij也可看作一个定性值,它由l个模糊数乘以相对隶属度(Rij)组成,即
(9)
其中,仅表示Rij由l个模糊数组成,不具有任何运算功能。
例如,定量值0.4在“较差”中的相对隶属度(0.4)=0.67,在撝袛中的相对隶属度,则。设权重为,则由公式(5)、(9),模糊评价的结果为
(10)
(3) 可由各模糊数按加权平均求出其精确输出值uij。
(11)
其中,f2kij指方案j中的目标i在第k个模糊数中相对隶属度最大的点,与公式(6)相仿,f2kij=w2i·a2kij,其它符号意义同前。
(4) 于是方案j的最终的综合评价值亦可由公式(8)给出。
表1
方案号
水库最高洪水位/m
调洪末库水位/m
弃水量/1083
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
264.04
263.83
263.51
263.18
262.96
263.42
263.23
263.09
262.99
262.96
263.03
263.87
263.51
262.97
262.40
262.01
262.78
262.59
262.44
262.34
262.30
262.42
17.28
19.01
21.60
24.19
25.92
22.46
23.33
24.02
24.45
&n
