问题：若实数k随机取自区间[-，]，点M，N为直线y=kx+3与圆（x-2）2+（y-3）2=4的两个交点，则MN≥2的概率为 。
一、解法探究
二、解法辨析
本题设置实数k的取值区间，指明了“等可能的探究角度”，题中所给直线y=kx+3恒过定点（0，3），当弦长MN变化时，直线只能绕定点（0，3）旋转变化，所对应的直线斜率取值是均匀分布的，由几何概型知道，其所求的概率是实数k取值区间的长度比，故解法1是符合题意的。
在解法2中，把实数k的取值转化为弦长MN的取值，学生认为弦长MN的取值与实数k的取值之间有对应关系，用弦长MN作为测度进行概率计算是合题意的。事实不然，我们可以想象，移动圆的位置，弦长MN取值范围随着变化，所求得的概率值也发生改变。因此，解法2的错误在于变换研究对象，导致测度区间长度不等价，解法3、解法4具有类似错误。
在解法5中，平面区域内的点是均匀分布的，但当k取不同值时，直线变化与区域内点变化并无关联，故以区域的面积作为测度，改变题目原意，所求得概率不合题意。
上述例题的解法与思路辨析进一步说明，解答几何概型问题时一定要关注“等可能的探究角度”，一定要严格按照题目指定的研究角度进行作答，即使进行等价转换也要做到测度区间长度不改变，否则，就会错误解答。
三、启示探究
1.重视知识与能力要求，准确把握教材教学要求
对于授课者而言，照本宣科——重视几何概型概念和几何概型概率公式的理解和记忆是不可取的，应重视下列学生学习难点的突破：（1）如何理解并确定“等可能事件”；（2）如何通过阅读题目正确选择“等可能的探究角度”；（3）如何正确选择计算相应的几何度量（长度、面积、体积等）。
纵观诸多教学设计，比较普遍的问题是：例题讲解取代教学概念，大量解题训练取代能力培养，学生对知识学习停留在课本，缺乏深度认识，教师往往质疑学生的数学学习能力，却不反思自己教法的有效性、教学手段的科学性，这就是产生学生数学学习“懂而不会”的根源所在。
随着新课程的实施和高考命题改革的发展，高考试题模式发生变化，中学数学教学显然有一个适应过程，教师选取偏题、怪题作为高考复习例题有扩大趋势，违背了《高考考试说明》的要求。就本文问题而言，学生专注于对原始条件进行等价转换得到不同答案产生困惑，而教师往往只讲授正确解答，对学生思维中的合理成分视而不见，影响学生思维能力的提高。
2.科学构题，提高考试试题的可信度
对于命题者而言，，不同类型的考试有不同的命题要求。如本文所列各种解法，都有合理成分，但正确答案只有一个，无法准确区分各类学生数学学习能力。若在高三模拟试题中选用一些偏题，就可能产生一些负面的导向作用，浪费师生的时间和精力，难于取得良好的复习效果。事实上，高考命题专家命制高考试题，就非常关注试题的有效性和选拔性，这不能不引起广大中学教师的注意。下面就几何概型题略举几例，以资借鉴。
例1：在区间[-2，3]上随机选取一个数x，则x≤1的概率为：
（2014年湖南省高考试题文科第5题）
例2：由不等式组x≤0y≥0y-x-2≤0确定的平面区域记为？赘1
不等式组x+y≤1x+y≥-2确定的平面区域记为？赘2，在？赘1中随机取一点，则该点恰好落在？赘2内的概率为：
（2014年湖北省高考试题理科第7题）
例3.如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 .（2015年福建省高考试题理科第13题）
3.多视角探究，促进深度认知意识的生成
对于学生学习而言，从不同角度去探究同一问题，可能会得到不同的解题思路，得到正确答案是我们的解题目的，但对于学生中存在的不太完美的解法，也同样值得关注，学生只有充分呈现自己思维，才可能暴露学习思维过程和方法中的缺陷，通过纠错，可以不断增强对错误的“抵抗力”。错解也是一种宝贵的教学资源，通过错解的讲评、辨析和反思，教师也可审视自己的教学行为，以期不断地改进教法，有效提高教学质量。
参考文献：
高丽娟.高中生“几何概型”学习困难及对第研究[D].山东师范大学，2015.
