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尺规作图在几何教学上对学生能力培养的作用

2020-10-25  |  作者:现代职业教育杂志  |  栏目:论文中心

   摘 要:尺规作图是初中几何教学的重点内容。除了这个技能是将来学生数学学习发展的基础之外,通过尺规作图教学还可以对学生的多种能力进行有效培养。比如思维能力、数学语言规范表达能力、建模能力、实践能力等。结合初中数学尺规作图教学,就其对学生能力培养的作用进行分析探讨。
   关键词:尺规作图;初中;数学;能力培养;作用
   在综合素质及核心素养教育目标下,当下的数学教学应将视角跳出纯粹的知识、技能教学,,而将培养学生的能力作为一个重要的内容(也即,“授之以鱼,不如授之以渔”)。只要用心并方法得当,几乎所有的教学内容都可以用来对学生的能力进行培养。但是,需要注意的是,不同的内容以及不同的教学策略方法对学生能力培养的作用点是有差异的。教师需要根据具体教学内容以及学生的发展需求来设计能力培养的教学。
   就初中数学几何教学中的尺规作图来说,它是初中数学的重点内容。因为,尺规作图是数学学习进阶发展的基础技能。比如用于解平面几何题画辅助线,比如将来在高中学习立体几何和函数的时候,都会用到尺规作图这个技能。但是,当下仍然有一些数学教师将尺规作图的教学放在纯粹技能教育的视角上,而忽视其能力培养的作用,而且也缺少对相应教学方法的研究及实践。显然,这既浪费了尺规作图这个教育资源,又不利于学生素养的建设发展。
   其实,尺规作图因为既相对视觉直观(与初中学生直观思维能力强、抽象思维能力略弱的特征相符),又有很强的操作体验性(学生必须经历思考和动手两个步骤才能完成),对学生能力培养的作用可以挖掘出很多。
   下面,就尺规作图在初中几何教学上对学生能力培养的作用进行分析探讨。
   一、培养思维能力
   传统的尺规作图教学,教师主要是通过范例来讲解,并要求学生对范例进行反复强化记忆。这种教学方法虽然能很大程度上保证学生在考试中熟练完成解题,但我们会发现,当学生遇到一些稍加变化的问题,或一些需要逆向解答的问题时,往往会“不知所措”。造成这种现象的原因,就是学生缺少对知识技能的灵活解析能力、思维能力——特别是创新思维、发散思维、逆向思维等比较弱。学到的不是知识,而是教条化的技能。
   而要使尺规作图教学的过程能够对学生的思维能力发展发挥作用,就需要教师在给学生讲解了基本作图原理之后,在进行巩固训练时有意给学生出一些非标准化的变式题,让学生在没有范例可以参照的情况下开动脑筋尝试完成解题。在这个过程中,即可促进其思维能力的发展。
   比如,用尺规画“角平分线”的习题。通常,我们教学生画角平分线的范式,就是给一个开放的锐角画平分线。而我们可以设计几种变式问题来训练学生的思维能力:如,给学生一个大开角的钝角,让学生画它的平分线。这个过程中,学生会遇到一个问题,就是在卷面上作图会非常大,往往圆规的交叉点会超出纸面(就算没有超出纸面,也会遇到圆规不够大或没有足够画图空间的问题)。试一试学生能不能想到画出一个等腰三角形,然后去画线段(底)的垂直平分线,从而得到角的平分线;再比如,我们不直接让学生画角平分线,而是给他们一个封闭的三角形,且不说画角平分线——已知△ABC,其中∠C=90°,在AB这条边上找出一个点E,使∠ECA=45°,也就是让学生跳出开放性角及“平分线”这个直接问题,而从平分角度的问题迁移到角平分线的问题上。教师通过类似这样的变式,让学生多想几步,打开其思维空间,训练他们的思维能力。
   二、训练规范表达
   在教学中,我们发现一个问题:就是有些学生数学学得很好,解题的答案是正确的,但总会在解题过程中丢分。而且,这些学生在互助学习小组中帮助同学解题、讲解的时候,总是语言表述不达意,费了半天口舌,对方还是没有听懂,也就是解题不规范或用数学语言表述的能力不足,这其实是在数学的学习中一个较为普遍的现象。尤其是一些“学优生”,因为思路敏捷,往往会在解题中跳过步骤快速完成解题。当让他表述的时候,本来他以为自己的思路很清晰,但真正表述的时候,发现没有能力把自己的思路展示出来。
   训练学生掌握用数学语言准确、清晰、规范地表达,也是一项基本能力。比如“已知线段a和h,用直尺和圆规作一个等腰三角形ABC。要求,底边BC=a,高等于h”。这个题是基础题,并没有难度。就是两个知识点,一是“作一条线段等于已知线段”,二是“作已知线段的垂直平分线”。往往学生在答题的时候,就会跳过步骤,缺少规范性。对此类问题,教师一定要求学生在解题的时候将解题步骤一步步写出来,且要用数学的规范语言。如,(1)作一条线段AB,长度等于a;(2)作AB的垂直平分线,与AB交于点F;(3)在垂直平分线上取一点C,使线段FC等于h;(4)分别连接AC、BC。虽然,这个简单的题这样写可能比较烦琐,但这正是训练学生规范表达的好素材。而当绘制较为复杂的图形时,如果没有这个基本功,学生表述起来往往会因为用语不规范或步骤混乱等问题而丢分。
   三、培养建模能力
   建模能力是数学的核心素养之一。但培养学生的建模能力相对比较困难。一是因为数学的抽象性比较强,学生不容易捕捉到规律;二是建模能力需要以归纳能力、提炼能力、总结能力、分析能力为基础条件,当学生不具备这些能力的时候,建模能力的培养会受到制约。因而,数学教师对学生建模能力培养的积极性不高,往往为了省事,会将数学知识的“模型”直接告诉学生,让学生记住。这种教法会出现两个问题:一是当学生出现知识点记忆缺失的时候,就不能完成解题,不能在考试中运用自己的独立推理能力重新建模而完成解题;二是学生的学习会缺少发展性。即,当他们将来脱离教师或遇到自己想学习的内容时,因不会建模而学习发展效率较低。因而,无论建模能力的培养多么难,数学教师还是要把这件工作做好。
   好在,尺规作图这个知识技能的“模型”是相对比较简单的。无非就是三个方面的提炼:一是两种几何语言。即,用直尺作图的几何语言(如:过点×、点×作线段××或过点×作直线×;连结两点××;延长××到点×,使××=××或交××于点×等)和用圆规作图的几何语言(如:在××上截取××=××;以点×为圆心,××的长为半径作圆或弧;分别以点×、点×为圆心,以××长为半径作弧,相交于点×等);二是尺规作图的一般步骤(即,已知——表述题目条件;求作——按要求作出圖形;作法——表述过程、原理);三是五种基本作图(即,作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线和过一点作已知直线的垂线)。比起数学的其他知识(比如函数模型或方程式模型)来说,尺规作图的建模处于不特别复杂又不是特别简单的层次上,正是我们对学生进行建模能力培养的恰当资源。

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