作者：后小君
摘 要：利用向量法求二面角的大小的原理：构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角。课本中是凭直觉观察二面角是锐二面角还是钝二面角，这种方法缺乏理性，容易导致错误的结果。在复杂的立体图中，要准确判断是锐二面角还是钝二面角比较困难，为了让学生思维更清晰，能得到一个理性的结果，给法向量取定方向后可准确地求出二面角。
关键词：法向量；求二面角；应用
一、二面角的两个半平面的法向量的夹角与二面角的关系
1.确定法向量的指向
2.确定两个法向量的夹角与二面角的关系
如图1，当两个法向量一个指向二面角的内部，一个指向二面角的内部时，法向量的夹角就是二面角；如图2和图3，当两个法向量都指向内或者都指向外时，法向量的夹角就是二面角的补角。
二、法向量在求二面角中的应用
求二面角的大小或二面角的余弦值：当二面角为锐二面角时，二面角的余弦值为正值，当二面角为钝二面角时，二面角的余弦值为负值，二面角和它的补角的余弦值不相等。用向量法解决这类型题时需判断法向量的指向以保证两向量的夹角就是二面角。
例1.【2017全国1卷（理）】如图4所示，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD。
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值。
【解析】（1）证明：因為∠BAP=∠CDP=90°，，所以PA⊥AB，PD⊥CD。
又因为AB∥CD，所以PD⊥AB，又因为PD∩PA=P，PD、PA？奂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又AB？奂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD。
点评：注意某些平面的法向量在条件中隐含，不用单独求，取该平面的法向量时和另一个平面的法向量指向不同即可。
书中一直提倡用观察法判断二面角的大小是钝角还是锐角，难免存在一些因视角问题而产生的错误，而很多老师和学生常常对于这一问题上往往忽视它的重要性，但是我们应该认识到数学是一门艺术，更是一门科学，要求的是简洁性与准确性，所以，研究这一性质是非常重要的。
注：本文系2017年甘肃省教育科学“十三五”规划“陇原名师”专项课题“中学数学教学中图形教学的策略及效果研究”（立项号：GS[2017]MSZX057）的成果之一。
编辑 鲁翠红
