本文作者：应希源 萨彬含 发表期数：现代职业教育 2022年30期 本文字数：2489
[摘 要] 基本初等函数是高职高等数学的基础，介绍了基于几何画板的基本初等函数性质的动态演示方法，便于学生总结、掌握基本初等函数的性质，并对部分函数性质引入口诀，便于学生记忆，化抽象为形象。旨在让高职学生从形的角度直观认识、理解基本初等函数，让其亲身经历知识的形成过程，从而更好地理解、掌握、应用知识，培养学生数形结合的能力。
[关 键 词] 基本初等函数;几何画板;教学;应用
[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2022）30-0037-03
一、引言
基本初等函数一般包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，基本初等函数图像及性质是高等数学的基础。大部分高职学生的认知特点是形象思维优于逻辑思维，习惯于在具体的实践场景中认知和学习，不喜欢枯燥、乏味的知识讲解[1]。部分学生不能将“数”和“形”有效联系起来，从而很难达到利用所学知识解决实际问题的能力要求。几何画板软件是一款优秀的数学软件，具有作图方便、快捷的特点。学者高圣洁[2]借助几何画板以指数函数为例，引导学生快速作出指数函数图像，观察指数函数的图像随底数a的变化，得出指数函数的性质。学者曹斌[3]通过几何画板动态演示了幂函数图像的变化规律。本文在此基础上，介绍了基于几何画板的基本初等函数性质的动态演示方法，通过演示引导学生找出基本初等函数的性质，并对部分函数性质引入口诀以便记忆，化抽象为形象，旨在让高职学生从形的角度直观认识、理解基本初等函数，培养学生数形结合的能力。
二、利用几何画板探究基本初等函数的图像及性质
（一）常数函数
常数函数形式为f（x）=C，x∈（-∞，+∞），其中C为常数[4]。在几何画板中依次选择“数据”“新建参数”，新建參数t1=1.00，选择“绘图”“绘制新函数”，选中已建立的参数t1=1.00，在直角坐标系中便绘制出f（x）=1.00的图像，任意改变参数t1值，便可得到相应的常数函数。通过常数函数图像引导学生得出函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性。常数函数随着自变量x的变化，函数值f（x）始终不变，即常数函数不增不减。常数函数定义域关于原点对称，且对于任一自变量x，均可使得f（-x）=f（x）成立，即常数函数为关于y轴对称的偶函数。常数函数存在无穷多个不为0的数T使得f（x+T）=f（x）恒成立，即常数函数为周期函数但没有最小正周期。常数函数存在一个正整数C，对于任一变量x，总有f（x）≤C，，即常数函数在定义域内为有界函数。
（二）幂函数
幂函数的形式为f（x）=xn（n为实常数）。利用几何画板可直接绘制幂函数图像，通过改变n值重复绘图便可得到幂函数随n变化的函数性质，但对于高职学生，该方法不直观，部分学生因找不出规律而产生挫败感，因此通过动画找规律比直接看图找规律容易。动态演示幂函数单调性的步骤有：（1）建立可任意赋值的参数n，依次选择“数据”“新建参数”命令新建参数n;（2）建立演示启停按钮，依次选择“数据”“新建参数”命令新建参数x，选中参数x再依次选择“编辑”“操作类按钮”“动画”，便建立了可控制启停的按钮;（3）绘制点，点的横纵标选择参数x，纵坐标“xn”通过“计算”获得，依次选择“绘图”“绘制点”，便可绘制出幂函数的一个点，此时单击“启停按钮”，绘制的点即按照幂函数的轨迹运动;（4）设置追踪点，分别找出绘制点在x轴、y轴的投影点，选择“追踪绘制的点”，此时单击“启停按钮”后便可直观看出3个点的运动情况，当改变参数n时，之前的运动轨迹还未擦除，会影响实验效果，因此还需设置擦除轨迹按钮;（5）设置“擦除轨迹”按钮，依次选择“数据”“新建参数”建立参数，选中参数依次选择“编辑”“操作类按钮”“隐藏/显示”建立按钮，重复上述操作再建立一个按钮，同时选中两个按钮，依次选择“编辑”“操作类按钮”“系列”，将其中一个按钮隐藏，选中另一个按钮右键依次选择“属性”“系列按钮”“勾选清除所有追踪轨迹”，此时便建立了“擦除轨迹”按钮，单击时便可将所有追踪轨迹擦除。经过以上步骤后便可进行实验，任意给定一个参数n，点击“启停按钮”便可得到点的运动轨迹，根据轨迹便可直观判断幂函数的单调性，图1为实验过程中幂函数单调性动态演示截图。
学生通过改变参数n观看几何画板动态演示后，可得出幂函数定义域与n有关，图像总过点（1，1）。幂函数单调性为：当n大于0时在定义域内为单调增函数，当n小于0时在定义域内为单调减函数，由此引导学生得出幂函数单调性口诀“大于0时增函数，小于0时减函数;大于1时增长快，（0，1）间增长慢”，便于学生记忆。
幂函数中的指数n为实常数，当n为有理数时，n可化为两个整数之比，利用几何画板制作幂函数奇偶性演示步骤为：（1）新建分子、分母、自变量x三个参数，实验可对新建参数赋值，用于引导学生找出n与幂函数奇偶性的规律，在几何画板中依次选择“数据”“新建参数”，分别创建“分子”“分母”“x”可赋值的参数;（2）计算幂函数的实常数n，依次选择“数据”“计算”“分子/分母”便可计算出n值;（3）绘制幂函数f（x）=xn图像;（4）根据自变量x计算f（-x）、f（x）值，用于总结奇偶性的规律。图2为幂函数奇偶性探究实验的部分截图。
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