作者：曾剑华
[摘 要] 结合多年教学经验，采用新的教学思路，创新了积分教学中非常高效的教学方法。
[关 键 词] 积分教学；直接积分；凑微分；三角代换；根式代换；分部积分
[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2018）12-0152-01
“教学有方，教无定法。”在教学过程中，教师可以使用多种教学方法和手段促进教学质量的提高。笔者在日常教学中认真总结、积极探索新的教学方法，引领学生一起探究消除积分中根式作为明确目标的各种积分方法。
一、直接积分
讲完基本积分公式后，就可以去“套公式”积分了，那么，在基本积分公式中，根式可以直接积分的有哪几个呢？细观之，在十三个基本积分公式中，被积函数中有根式的共有两个：（I型）幂函数积分■xμdx=■xμ+1+C（μ≠-1），譬如，若令μ=■，即为
■■dx=■x■+C。（II型）■■dx=arcsinx+C。
如果被积函数中含有根式，可以用恒等变形公式将被积函数化成上面两种形式中的一种，再运用公式积分法解题。
例1 计算■■dx。
分析：本题中分子、分母都含有幂函数，所以可以运用分数指数幂的运算性质，化为幂函数来积分。
解：■■dx=■（x■-x■+x■）dx
=■x■dx-■x■dx+■x■dx=■x■-■x■+■x■+C
二、凑微分
凑微分法（又叫第一类换元法）是求不定积分中最常用、最灵活的方法，也是学生学习中迷茫和不易掌握的一种方法。但是能过这种方法可以将一些较复杂的积分转化为基本积分来解。
例2 计算■■dx
分析：分母中的根式与Ⅱ型积分类似，所以可以先将被积函数分拆为两个分式之和，，再逐个解决。
解：■■dx=13■■+■■dx
=13■■+■■dx
=13arcsin■-■■■=13arcsin■-■+C
分拆后的第一個根式在凑微分中当成Ⅱ型积分，第二个根式在凑微分中当成Ⅰ型来积分的。
三、三角代换
三角代换是利用三角函数的性质将要计算的不定积分问题进行转换，使题目得以求解，实质上也是换元的思想，体现了三角是数学中的工具。
例3 计算■■dx
分析：若能将根号内化成某个函数的平方，就可以顺利开根号，从而将根式运算避免掉。考虑到三角函数中的同角三角函数关系，故有下面解法：
解：令x=sint，dx=cosdt，所以
■■dx=■sin3tdt=■（cos2t-1）d（cost）
=■cos3t-cost+C=■■-■+C
一般来说，当被积函数含有：（1）■，可作代换x=asint；（2）■，可作代换x=atant；（3）■，可作代换x=asect。通常称以上代换为三角代换。
四、根式代换
去掉根式的第二种办法，就是把根式整体换元。
例4 计算■■dx
分析：若将根式整体换元，就可以去掉根式，转化为多项式函数来积分。
解：为了消去根式，可令■=t，则x=t2+1，dx=2tdt，于是
■■dx=■■dt=2■■dt
=2■（1-■）dt=2（t-arctant）+C=2（■-arctan■）+C
当被积函数中含有■时，可令■=t，可以消除根号，从而求得积分，通常称以上代换为根式代换。
五、分部积分
（■）■=■，反过来凑微分就是■dx=■dx，所以如果分母上有二次根式，可以尝试将其置后凑微分，再用分步积分的方法。
例5 计算■■dx
分析：分母上是二次根式，可以尝试将其置后凑微分，再用分步积分。解（法4）：
■■dx=-■x2d（■）=-x2（■）+■■d（x2）
=-x2■-■■d（1-x2）
=-x2（■）-■■+C=■■-■+C
我们从被积函数中含有根式为着手点，讲解了五种常见的积分方法，即直接积分法、凑微分法、三角代换法、根式代换法与分部积分法等积分方法。从根式的不同角度着手分析，根据根式的特点，明确具体目标，将被积函数中的根式去除，达到解决问题的目的。这五种常见的积分方法有各自的特点，适合不同类型的题型，也具有通性。在本文中针对■■dx这道题，我们给出三种积分的方法，这种一题多解的教学方法，有利于提升学生的学习兴趣与信心，有利于激发学生的思维，有利于培养学生的创新思维，有利于丰富解题方法，积累解题经验。
参考文献：
同济大学数学系.高等数学[M].6版.北京高等教育出版社，2009.
