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基于常微分方程中多种构型在实际生活中的应用

2021-08-06  |  点击:  |  栏目:论文中心

  [摘           要]  现如今很多日常生活中的问题都可以转化为数学问题来解决,而数学模型的建立是联系实际问题和数学工具的重要桥梁,它让数学工具得以运用于实际生活问题中。数学建模就是将现实生活中的现象转化为理论模型,然后利用理论研究成果进行后期预测。常微分方程是模拟一些实际问题发展规律的重要数学工具之一。主要讨论了多年来建立常微分方程数学模型的数学模型竞赛问题及其原型,以及常微分方程数学模型在现实生活中的应用,并分析了SIR模型在大学生恋爱模型中的相关应用。
  [关    键   词]  常微分方程;数学模型;生活实际
  [中图分类号]  G642                 [文献标志码]  A                    [文章编号]  2096-0603(2021)06-0064-02
   早在300多年前,常微分方程理论便被数学家提出来了,一开始是一门自然科学学科,在经过多位科研工作者呕心沥血的研究后,它现在已经发展成为一门理论意义与实践应用并重的学科。目前,常微分方程在许多学科中有着重要的应用。本文列举生活中有关常微分方程建模的一些实例,,讨论了常微分方程知识在数学建模中的相关应用[1]。
   一、常微分方程模型与全国大学生数学建模大赛
   (一)火箭推进力及升空速度(一阶微分方程模型)
   数模竞赛题目:
   嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略(2014年全国大学生数学建模竞赛A题)
   在高速飞行条件下,嫦娥三号的关键问题是着陆轨道和控制策略的设计,以保证在月球预定区域的精确软着陆。根据课题要求,建立数学模型,确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置,以及嫦娥三号相应速度的大小和方向;确定嫦娥三号的着陆轨道和最优控制策略;对设计的着陆轨道和控制策略进行误差分析和灵敏度分析。
   分析:在确定嫦娥三号着陆轨道和六个阶段最优控制策略时,实际上是建立燃料消耗、時间和卫星速度之间的动量守恒方程,在列出六个阶段的方程后,经过一系列的运算,再列出等式,便可知这是一个可以建立一阶微分方程模型来进行求解的实际应用问题。最后我们便可以通过求解这个一阶微分方程来得到火箭的最优控制策略。
   题目参考原型[2]:
   一个简单的火箭模型由发动机和燃料仓组成。燃料燃烧从火箭的末端产生大量的气体,给火箭一个向前的推力。火箭飞行受地球引力、空气阻力、地球自转和公转的影响,使火箭起飞后做曲线运动。为了简化问题,现假设:(i)火箭在喷气推动下做直线运动,火箭所受的重力和空气阻力忽略不计。(ii)从火箭末端喷出气体的速度(相对火箭本身)为常数u。
   (二)红绿灯问题(非齐次二阶微分方程)
   数模竞赛题目:
   车道被占用对城市通行能力的影响(2013年全国大学生数学建模竞赛A题)
   车道被占用的情况复杂多样,正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度,将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。
   分析:在交通管理方案的设计中,设置黄灯的持续时间,一般都是由司机的反应时间和车子的制动距离所决定的,我们只要确定正常人看到黄灯并决定踩刹车的反应时间和车辆的刹车距离。再根据牛顿第二定律列出相关方程可知这是一个可以建立非齐次二阶微分方程模型进行求解的实际问题。通过求解该非齐次二阶微分方程方程,便可以计算出黄灯的持续时间。
   题目参考原型[2]:
   在十字路口的交通管理中,黄灯应该亮一段时间,然后红灯亮。这是为了让那些在十字路口开车的人注意一下,告诉他们红灯就要亮了。如果能停车,应立即刹车,以免闯红灯违反交通规则。请根据实际数据预测黄灯应该亮多久。
   二、模型在生活中的相关应用:牛顿冷却的妙用
   现实生活中,常常有人或其他生物突然暴毙,虽然这些事情不常见,但却是真实存在的,而牛顿冷却定律就可应用在这类生物尸体死亡时间的鉴定中。现在假设警察发现一具尸体,要确定这具尸体的具体死亡时间,从而通过遇害者的具体死亡时间来精确地利用监控去寻找犯罪嫌疑人,这里便可利用牛顿冷却模型来鉴定遇害者的具体死亡时间。
   当受害者遇害身亡后,心脏停止跳动,血液流动停止,受害者的温度从原来的人体正常温度37摄氏度按照牛顿冷却定律开始下降。现在假设周围空气的温度保持在20摄氏度,那么根据牛顿冷却定律,两小时后尸体的温度将会下降到35摄氏度。如果当刑警找到遇害者尸体,对尸体进行温度测量时的温度是30摄氏度,那么再联系发现尸体的时间,刑警就可以得到受害者的死亡时间。
   假设对尸体进行温度测量的时间是晚上十点整, 现在我们用H来表示温度,用t来表示时间,H0表示初始温度,那么可以列式为[3]:
   于是,我们可以得知遇害者的遇害时间发生在晚上十点尸体发现前的8.4小时,即八个小时二十四分钟。再考虑到一些不可避免的误差,我们便可得出受害者的遇害时间大概是当天下午一点三十分左右。刑警通过调查这个时间段的监控便有可能快速锁定犯罪嫌疑人。
   同理,类似于日常生活中食物、汽水冷藏解冻等的最佳温度也可运用牛顿冷却模型来进行求解,这样可以使那些想要喝到冰冻汽水的人,不至于冷藏过久而让汽水结成冰,导致错过饮用冰冻汽水的最佳时间。人们做饭的时候,冷藏的肉类食品在做饭前的什么时间段拿出来解冻是一个难题,而通过运用牛顿冷却模型,人们便可以知道知道冷藏的肉类食品在做饭前的什么时间段拿出来解冻可以使肉类的口感最佳,不至于因为解冻的时间不够而导致肉类食品做出来的时候半生不熟。

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